CLASS IX (NCERT) हीरोन सूत्र अध्याय 12

हीरोन का सूत्र अभ्यास 12.1

July 3, 2021
edusingh

Ex 12.1 कक्षा 9 गणित

हीरोन का  सूत्र का प्रयोग 

Ex 12.1 कक्षा 9 गणित प्रश्न 1. :-
एक ट्रैफिक सिग्नल बोर्ड, जो ‘आगे स्कूल है ‘ को दर्शाता है, एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा ‘a’ है। हीरोन के सूत्र का प्रयोग करते हुए सिग्नल बोर्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यदि इसका परिमाप 180 सेमी है, तो सिग्नल बोर्ड का क्षेत्रफल क्या होगा?

 

 

समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा a हैं

AB = a     BC = b       AC = c

त्रिभुज का अर्ध-परिमाप

S=\frac{a+b+c}{2}

त्रिभुज का क्षेत्रफल  =  \sqrt{S\left ( S-a \right )\left ( S-b \right )\left ( S-c \right )}         (हीरोन के सूत्र का प्रयोग करते हुए)

a = b = c =  a                      ( दिया है प्रत्येक भुजा ‘a ‘ है )

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल =\sqrt{S\left ( S-a \right )\left ( S-a \right )\left ( S-a \right )}

S=\frac{a+a+a}{2}

S=\frac{3a}{2}

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल  =\sqrt{\tfrac{3}2{a}\left ( \tfrac{3}2{a-a} \right )\left ( \tfrac{3}2{a-a} \right )\left ( \tfrac{3}2{a-a} \right )}

=\sqrt{\left ( \tfrac{3}2{a} \right )\left ( \frac{3a-2a}{2} \right )\left ( \frac{3a-2a}{2} \right )\left ( \frac{3a-2a}{2} \right )}

\sqrt{\frac{3}2{a}\left ( \frac{a}2{} \right )\left ( \frac{a}{2} \right )\left ( \frac{a}{2} \right )}

\sqrt{3\times \frac{a}{2}\times \frac{a}{2}\times \frac{a}{2}}

=\frac{a}{2}\times \frac{a}{2}\sqrt{3}

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}          (आप हमेशा समबाहु त्रिभुज के  क्षेत्रफल रूप में इसका प्रयोग कर सकते है )

त्रिभुज का परिमाप = 180

a +b + c=180

a + a+ a=180

3a = 180

a = 60

सिग्नल बोर्ड का क्षेत्रफल = \frac{\sqrt{3}}{4}\times 60\times 60

इस प्रकार, सिग्नल बोर्ड का क्षेत्रफल  =900\sqrt{3}cm^{2}

 

Ex 12.1 कक्षा 9 गणित प्रश्न 2 :- 
एक फ्लाईओवर की त्रिकोणीय साइड की दीवारों का इस्तेमाल विज्ञापनों के लिए किया गया है। दीवारों के किनारे 122 मीटर, 22 मीटर और 120 मीटर हैं (आकृति देखें)। विज्ञापनों से प्रति वर्ष ₹5000 प्रति वर्ग मीटर की कमाई होती है। एक कंपनी ने अपनी एक दीवार को 3 महीने के लिए किराए पर लिया। कितना किराया दिया?

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 12 Heron's Formula Ex 12.1 Q2

हल :-

a = 122       b = 120       c = 22

त्रिभुज का अर्ध-परिमाप

S = \frac{a+b+c}{2}

S = \frac{122+120+22}{2}

S = \frac{164}{2}

S = 132

त्रिभुजाकार दीवार का क्षेत्रफल = \sqrt{S\left ( S-a \right )\left ( S-b \right )\left ( S-c \right )}                 ( हीरोन के सूत्र का प्रयोग करते हुए )

=\sqrt{132\left ( 132-122 \right )\left ( 132-120 \right )\left ( 132-22 \right )}

= \sqrt{132\times 10\times 12\times 110}

= \sqrt{2\times 2\times 3\times 11\times 2\times 5\times 2\times 2\times 3\times 2\times 5\times 11 }

= \sqrt{2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 3\times 3\times 5\times 5\times 11\times 11 }            (अब, व्यवस्थित करें और जोड़े बनाएं)

= 2\times 3\times 11\times 2\times 2\times 5

= 120\times 11

= 1320 m^{2}

1320 m2  के लिए 3 महीने का किराया    = 1320\times \frac{5000}{12}\times 3                   ( एक महीने का किराया  \frac{5000}{12} )

= 330\times 5000  =₹ 1650000

इस प्रकार, 3 महीने का किराया ₹ 1650000 दिया गया

 

Ex 12.1 कक्षा 9 गणित प्रश्न 3  :- 
एक पार्क में एक स्लाइड है। इसकी एक साइड कंपनी ने अपनी एक दीवार को 3 महीने के लिए किराए पर लिया है। दीवारों को“KEEP THE PARK GREEN AND CLEAN” संदेश के साथ किसी रंग में रंगा गया है (आंकड़ा देखें)। यदि दीवार की भुजाएँ 15 मी, 11 मी और 6 मी हैं, तो रंग से रंगा हुआ क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 12 Heron's Formula Ex 12.1 Q3

हल:-

a = 11               b = 15             c = 6

त्रिभुज का अर्ध-परिमाप

S=\frac{a+b+c}{2}

=\frac{11+15+6}{2}

S=\frac{32}{2}

S=16

दीवार की त्रिकोणीय सतह का क्षेत्रफल =\sqrt{S\left ( S-a \right )\left ( S-b \right )\left ( S-c \right )}        ( हीरोन के सूत्र का प्रयोग करते हुए )

=\sqrt{16\left ( 16-11 \right )\left ( 16-15 \right )\left ( 16-6 \right )}

=\sqrt{16\times 5\times 1\times 10}

=\sqrt{4\times 4\times 5\times 5\times 2}                        (अब, व्यवस्थित करें और जोड़े बनाएं )

दीवार की त्रिकोणीय सतह का क्षेत्रफल =4\times 5\sqrt{2}  =20\sqrt{2}m^{^{2}}

इस प्रकार, रंगा गया वांछित क्षेत्र =20\sqrt{2}m^{^{2}}

 

Ex 12.1 कक्षा 9 गणित प्रश्न 4 :- 
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ 18 सेमी और 10 सेमी हैं और परिमाप 42 सेमी है।

हल

a = 18cm        b = 10cm     परिमाप  = 42cm

परिमाप = a + b + c

42  =  18 + 10 + c

c   =  42-28

c   =  14

त्रिभुज का अर्ध-परिमाप

S = \frac{a+b+c}{2}

S = \frac{18+10+14}{2} = \frac{42}{2}

S = 21 cm

त्रिभुज का क्षेत्रफल  = \sqrt{S\left ( S-a \right )\left ( S-b \right )\left ( S-c \right )}                       (हीरोन के सूत्र का प्रयोग करते हुए)

=  \sqrt{21\left ( 21-18 \right )\left ( 21-10 \right )\left ( 21-14 \right )}

=  \sqrt{21\times 3\times 11\times 7}

=  \sqrt{7\times 3\times 3\times 11\times 7}

=  \sqrt{7\times 7\times 3\times 3\times 11}                                            (अब, व्यवस्थित करें और जोड़े बनाएं )

=  7\times 3\sqrt{11}

इस प्रकार, त्रिभुज का क्षेत्रफल = 21\sqrt{11}cm^{2}

Ex 12.1 कक्षा 9 गणित प्रश्न 5  :- 
एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 12 : 17 : 25 है और इसका परिमाप 540 सेमी है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल

त्रिभुज का परिमाप = 540 cm

त्रिभुज की भुजाओ का अनुपात   =    12 : 17 : 25

पहली भुजा  = a = 12x

दूसरी भुजा  = b = 17x

तीसरी भुजा = c = 25x

परिमाप = a + b + c

540 = 12x + 17x + 25x

540 = 54x

x = \frac{540}{54} = 10

x = 10 cm

a = 12\times 10 = 120cm

b = 17\times 10 = 170cm

c = 25\times 10 = 250cm

a= 120cm      b= 170cm      c= 250cm

त्रिभुज का अर्ध-परिमाप

S = \frac{a+b+c}{2}

S = \frac{120+170+250}{2} = \frac{540}{2}

S = 270cm

त्रिभुज का क्षेत्रफल = \sqrt{S\left ( S-a \right )\left ( S-b \right )\left ( S-c \right )}                               (हीरोन के सूत्र का प्रयोग करते हुए)

= \sqrt{270\left ( 270-120 \right )\left ( 270-170 \right )\left ( 270-250 \right )}

= \sqrt{270\times 150\times 100\times 20}

= \sqrt{3\times 3\times 3\times 10\times 5\times 3\times 10\times 10\times 10\times 2\times 10}

= \sqrt{3\times 3\times 3\times 3\times 10\times 10\times 10\times 10\times 5\times 2\times 10}                    (अब, व्यवस्थित करें और जोड़े बनाएं )

= 3\times 3\times 10\times 10\times 10

इस प्रकार, त्रिभुज का क्षेत्रफल= 9000 cm^{2}

Ex 12.1 कक्षा 9 गणित प्रश्न 6  :- 
एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 30 सेमी है और प्रत्येक समान भुजा 12 सेमी है। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल

a = b = 12 cm

c = ?

परिमाप  = 30 cm

a + b + c = 30

12+12+c = 30

c = 30 – 24

c = 6 cm

समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = \sqrt{S\left ( S-a \right )\left ( S-b \right )\left ( S-c \right )}                               ( हीरोन के सूत्र का प्रयोग करते हुए )

= \sqrt{15\left ( 15-12 \right )\left ( 15-12 \right )\left ( 15-6 \right )}

= \sqrt{15\left ( 3 \right )\left ( 3 \right )\left ( 9\right )}

= \sqrt{3\times 5\times 3\times 3\times 3\times 3}

= \sqrt{3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 5}                                        (अब, व्यवस्थित करें और जोड़े बनाएं )

= 3\times 3\sqrt{15}

∴ इस प्रकार, समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = 9\sqrt{15}cm^{2}

 

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