बहुपद

September 27, 2021

चर, अचर, चर के गुणांक तथा ऋणेतर घातांक के जोड़, घटाव या गुणन की क्रिया वाले बीजगणितीय ब्यंजक को बहुपद (POLYNOMIAL) कहा जाता है।

बहुपद : – चर, अचर, चर के गुणांक तथा ऋणेतर घातांक के जोड़, घटाव या गुणन की क्रिया वाले बीजगणितीय ब्यंजक को बहुपद (POLYNOMIAL) कहा जाता है। जैसे a + bx + cx²

बहुपद की घात : बहुपद p(x) में x की उच्चतम घात बहुपद की घात कहलाती है।

उदाहरण 1. बहुपद की घात लिखिए ?

x²+2x+4. समीकरण की घात 2 है। यानी समीकरण में चर की उच्चतम शक्ति।

एक बहुपद का मान : यदि x में P(x) एक बहुपद है और ‘a’ एक वास्तविक संख्या है, तो p(x) में x = a डालने पर प्राप्त मान P(x) का मान है:

x = a और P(a) द्वारा निरूपित किया जाता है।

उदाहरण 2. बहुपद का मान ज्ञात कीजिए ?

p(x) = 5x – 4x² + 3

x = 0 रखने पर,

p(0) = 5(0) – 4(0)² + 3

= 0 – 0 + 3

p(0) = 3

अचर बहुपद : जिस बहुपद की सबसे अधिक घात शून्य होती है, वह अचर बहुपद कहलाता है। इसमें कोई चर नहीं है, केवल स्थिरांक हैं।

उदाहरण के लिए: f(x) = 12, g(x) = -51, h(y) = $\frac{3}{2}$ आदि अचर बहुपद हैं।

रैखिक बहुपद : जिस बहुपद की घात सबसे अधिक होती है, उसे रैखिक बहुपद कहते हैं। उदाहरण के लिए, f(x) = x-2, g(x) = 2 x, h(x) = -9x + 8 रैखिक बहुपद हैं। सामान्य तौर पर g(x) = ax + b, a≠0 एक रैखिक बहुपद है।

द्विघात बहुपद :- द्विघात बहुपद घात 2 का बहुपद होता है। द्विघात बहुपद वाले समीकरण को द्विघात समीकरण कहते हैं।

कक्षा 10 गणित अध्याय 2 के लिए महत्वपूर्ण प्रश्न CBSE द्वारा गहन शोध के बाद तैयार किए गए हैं। इन प्रश्नों के नए पैटर्न 2021 के अनुसार परीक्षाओं में आने की सबसे अधिक संभावना है। यह महत्वपूर्ण प्रश्न परीक्षा दिशानिर्देशों के अनुसार तैयार किए जाते हैं ताकि आप अपनी परीक्षाओं में अच्छा स्कोर कर सकें।

कक्षा 10 गणित अध्याय 2 के महत्वपूर्ण प्रश्न आपको इस अध्याय से पूछे गए प्रश्नों के प्रकार की बेहतर समझ देंगे। यदि आप इन सभी प्रश्नों को अच्छी तरह से तैयार कर लेंगे, तो आप इस अध्याय से परीक्षा में आने वाले किसी भी प्रकार के प्रश्न को हल करने में सक्षम होंगे। यह अध्याय आपके ज्ञान के स्तर का परीक्षण करने में भी मदद करेगा

केस स्टडी 1:

नीचे दी गई तस्वीर परवलयिक (parabolic) आकार के कुछ प्राकृतिक उदाहरण हैं जिन्हें एक द्विघात बहुपद द्वारा दर्शाया गया है। एक परवलयिक मेहराब (arch) एक परवलय के आकार में एक मेहराब है। संरचनाओं में, उनका वक्र भार की एक कुशल विधि का प्रतिनिधित्व करता है, और इसलिए पुलों और वास्तुकला में विभिन्न रूपों में पाया जा सकता है।1. द्विघात बहुपद के मानक रूप में, ax² + bx + c, a, b और c हैं

a) सभी बहुपद हैं।

b) सभी परिमेय संख्याएँ हैं।

c) ‘a’ एक वास्तविक संख्या है और b और c कोई बहुपद हैं।

d) सभी पूर्णांक हैं।

उत्तर: c) ‘a’ एक वास्तविक संख्या है और b और c कोई बहुपद हैं।

2. यदि द्विघात बहुपद के मूल बराबर हों, जहाँ D = b² -4ac, तो

a) D > 0

b) D < 0

c) D ≥ 0

d) D = 0

उत्तर: d) D = 0

3. यदि α और 1/α द्विघात बहुपद 2x² – x + 8k के शून्यक हैं, तो k है

a) 4

b) $\frac{1}{4}$

c) $-\frac{1}{4}$

d) 2

उत्तर: b) 1/4

4. x²+1 = 0 का आलेख

a) x-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटती है।

b) एक बिंदु पर x-अक्ष को स्पर्श करता है।

c) x-अक्ष को न तो स्पर्श करता है और न ही प्रतिच्छेद करता है।

d) या तो x‐ अक्ष को स्पर्श करता है या काटता है।

उत्तर: c) x-अक्ष को न तो स्पर्श करता है और न ही प्रतिच्छेद करता है।

5. यदि मूलों का योग –p है और मूलों का गुणनफल $-\frac{1}{p}$ है, तो द्विघात बहुपद है

a) k(–px² + x/p + 1)

b) k(px² – x/p – 1)

c) k(x² + px – 1/p)

d) k(x² – px + 1/p)

उत्तर: c) k(x² + px – 1/p)

केस स्टडी 2:

आसन एक शारीरिक मुद्रा है, मूल रूप से ध्यान मुद्रा के लिए एक सामान्य शब्द है, किसी भी प्रकार की मुद्रा या स्थिति में, झुकना, खड़े होना, उलटा, मुड़ना और संतुलन जोड़ना शामिल है। आकृति में, कोई यह देख सकता है कि मुद्रा द्विघात बहुपद के प्रतिनिधित्व से संबंधित हो सकती है।

1. दिखाए गए पोज़ का आकार है

a) सर्पिल

b) अंडाकार

c) रैखिक

d) परवलय

उत्तर: d) परवलय

2. परवलय का ग्राफ नीचे की ओर खुलता है, यदि _______

a) a ≥ 0

b) a = 0

c) a <0

d) a> 0

उत्तर: c) a < 0

3. ग्राफ में बहुपद के लिए कितने शून्यक हैं?

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

उत्तर: c) 2

4. ऊपर दिखाए गए ग्राफ में दो शून्य हैं

a) 2, 4

b) -2, 4

c) -8, 4

d) 2, -8

उत्तर: b) -2, 4

5. द्विघात समीकरण के शून्यक होंगे

केस स्टडी 3:

बास्केटबॉल और सॉकर गोलाकार गेंद से खेले जाते हैं। भले ही एक एथलीट दोनों खेलों में गेंद को ड्रिबल करता है, एक बास्केटबॉल खिलाड़ी अपने हाथों का उपयोग करता है और एक सॉकर खिलाड़ी अपने पैरों का उपयोग करता है। आमतौर पर, फ़ुटबॉल एक बड़े मैदान पर बाहर खेला जाता है और बास्केटबॉल लकड़ी से बने कोर्ट पर इनडोर खेला जाता है। सॉकर बॉल और बास्केटबॉल के प्रक्षेप्य (पथ का पता लगाया) परवलय के रूप में द्विघात बहुपद का प्रतिनिधित्व करते हैं।

1. दिखाए गए पथ का आकार है

a) सर्पिल

b) अंडाकार

c) रैखिक

d) परवलय

उत्तर: d) परवलय

2. परवलय का ग्राफ ऊपर की ओर खुलता है, यदि _______

a) a = 0

b) a < 0

c) a > 0

d) a ≥ 0

उत्तर: c) a > 0

3. निम्नलिखित ग्राफ को देखिए और उत्तर दीजिए:

उपरोक्त ग्राफ में, बहुपद के लिए कितने शून्यक हैं?

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

उत्तर: d) 3

4. ऊपर दिखाए गए ग्राफ में तीन शून्य हैं

a) 2, 3,-1

b) -2, 3, 1

c) -3, -1, 2

d) -2, -3, -1

उत्तर: c) -3, -1, 2

5. बहुपद का व्यंजक क्या होगा?

a) x³ + 2x² – 5x – 6

b) x³ + 2x² – 5x + 6

c) x³ + 2x² + 5x – 6

d) x³ + 2x² + 5x + 6

उत्तर: a) x³ + 2x² – 5x – 6

केस स्टडी 4

बगीचे में खेलते समय साहिबा ने एक छत्ते को देखा और अपनी माँ से पूछा कि वह क्या है। उसने उत्तर दिया कि यह मधु मक्खियों द्वारा शहद को जमा करने के लिए बनाया गया एक छत्ता है। साथ ही, उसने उसे बताया कि बने छत्ते का आकार परवलयिक है। छत्ते की संरचना का गणितीय निरूपण ग्राफ में दिखाया गया है।

उपरोक्त जानकारी के आधार पर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए।

(i) एक द्विघात बहुपद का आलेख ___________ आकार में होता है।

(a) सीधी रेखा	(b) परवलयिक
(c) परिपत्र	(d) इनमें से कोई नहीं

(ii) ग्राफ द्वारा निरूपित बहुपद का व्यंजक है।

(a) x²– 49

(b) x²– 64

(d) x²– 81

(iii) ग्राफ द्वारा निरूपित बहुपद का मान ज्ञात कीजिए जब x = 6 हो।

(a) -2

(b) -1

(d) 1

(iv) बहुपद x²+ 2x – 3 के शून्यकों का योग है।

(a) -1

(b) -2

(d) 1

(v) यदि 2t² + 5t + 3a पर बहुपद के शून्यकों का योग उनके गुणनफल के बराबर हो, तो a का मान ज्ञात कीजिए।

(a) -5

(b) -3

$(c) \frac{5}{3}$

$(d) \frac{- 5}{3}$

केस स्टडी 5

पंकज के पिता ने उसे बाजार से P (x) = x² – 24x + 128 की दर से एवोकैडो खरीदने के लिए कुछ पैसे दिए। माना α , β p(x) के शून्य हैं।
उपरोक्त जानकारी के आधार पर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए।

(i) α और β का मान ज्ञात कीजिए, जहां α < β ।

(a) -8 , -16

(b) 8, 16

(d) 4 , 9

(ii) α + β + αβ का मान ज्ञात कीजिए।

(a) 151

(b) 158

(d) 155

(iii) p(2) का मान है

(a) 80

(b) 81

(d) 84

(iv) यदि α और β x² + x − 2 के शून्यक हैं, तो = $x^{2} + x - 2, then \frac{1}{α} + \frac{1}{β} =$

(a) $\frac{1}{2}$

(b) $\frac{1}{3}$

(d) $\frac{1}{5}$

(v) यदि q(x) = kx² + 2x + 3k के शून्यकों का योग उनके गुणनफल के बराबर है, तो k =

(a) 2/3

(b) 1/3

(d) -1/3

केस स्टडी 6 प्रश्न

एक सॉकर मैच में, किक में सॉकर बॉल का पथ दर्ज किया जाता है जैसा कि निम्नलिखित ग्राफ में दिखाया गया है।

उपरोक्त गठन के आधार पर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए।

(i) सॉकर बॉल के पथ का आकार होता है a

(a) सर्कल

(b) परबोला

(c)लाइन

(d)इनमें से कोई नहीं

(ii) दिए गए परवलय की सममिति की धुरी है

(a) y – अक्ष	(b) x – अक्ष
(c) y-अक्ष के समांतर रेखा	(d) x-अक्ष के समांतर रेखा

(iii) दिए गए ग्राफ में दर्शाए गए बहुपद के शून्यक हैं:

(a) – 1 , 7

(b) 5 ,- 2

(d) – 3 , 8

(iv) निम्नलिखित में से किस बहुपद के शून्यक -2 और -3 हैं?

(a) x^{2} - 5 x - 5

(b) x^{2} + 5 x - 6

(c) x^{2} + 6 x - 5

(d) x^{2} + 5 x + 6

(v) ‘x’ के किस मान के लिए, बहुपद f(x) = ( x − 3 )² + 9 का मान 9 है?

(a) 1

(b) 2

(d) 4

केस स्टडी 7 प्रश्न

श्वेता और उनके पति सुनील, जो पेशे से एक वास्तुकार हैं, फ्रांस गए। वे मोंट ब्लांक टनल देखने गए, जो आल्प्स में मोंट ब्लांक पर्वत के नीचे फ्रांस और इटली के बीच एक राजमार्ग सुरंग है, और एक परवलयिक क्रॉस-सेक्शन है। सुरंग का गणितीय निरूपण ग्राफ में दिखाया गया है।

उपरोक्त जानकारी के आधार पर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए।

(i) जिस बहुपद का ग्राफ दिया गया है, उसके शून्यक हैं

(a) -2 , 8

(b) -2 , -8

(d) -2 , 0

(ii) आरेख में दिए गए बहुपद का व्यंजक क्या होगा?

(a) x^{2} - 6 x + 16

(b) - x^{2} + 6 x + 16

(c) x^{2} + 6 x + 16

(d) - x^{2} - 6 x - 16

(iii) जब x = 4 हो, तो ग्राफ द्वारा निरूपित बहुपद का मान क्या होगा?

(a) 22

(b) 23

(d) 25

(iv) यदि सुरंग को x² + 3x – 2 द्वारा दर्शाया जाता है, तो इसके शून्यक हैं

(a) -1 , – 2

(b) 1 , – 2

(d) 1 , 2

(v) यदि एक शून्य 4 है और शून्यों का योग -3 है, तो बहुपद के रूप में सुरंग का प्रतिनिधित्व है

(a) x^{2} - x + 24

(b) - x^{2} - 3 x + 28

(c) x^{2} + x + 28

(d) x^{2} - x + 28

केस स्टडी 8 प्रश्न

सामाजिक कार्यकर्ता श्रेया अपने प्रखंड में मास्क, ग्लव्स और हैंड सैनिटाइजर की बोतलें बांटना चाहती हैं. 1 दिन में वितरित किए गए मास्क, दस्ताने और सैनिटाइज़र की बोतलों की संख्या बहुपद p(x) = x³ – 18x² + 95x – 150 के शून्य α, β, γ, ( α > β > ) द्वारा दर्शाई जा सकती है।

उपरोक्त जानकारी के आधार पर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए।

(i) α , β , का मान ज्ञात कीजिए।

(a) – 10 , – 5 ,- 3	(b) 3 , 6 , 5
(c) 10 , 5 , 3	(d) 4 , 8 , 9

(ii) एक बार में दो शून्यों के गुणनफल का योग है

(a) 91

(b) 92

(d) 95

(iii) बहुपद p(x) के शून्यकों का गुणनफल है

(a) 150

(b) 160

(d) 180

(iv) बहुपद p(x) का मान, जब x = 4 है

(a) 5

(b) 6

(d) 8

(v) यदि α, β, एक बहुपद g (x) के शून्यक इस प्रकार हैं कि α + β + = 3, αβ + βγ + γα = −16 और αβγ = −48, g (x) =

$(a) x^{3} - 2 x^{2} - 48 x + 6$	$(b) x^{3} + 3 x^{2} + + 16 x - 48$
$(c) x^{3} - 48 x^{2} - 16 x + 3$	$(d) x^{3} - 3 x^{2} - 16 x + 48$

अभिकथन तर्क प्रश्न

निर्देश : निम्नलिखित प्रश्नों में एक कथन (A) के बाद कारण का एक कथन (R) दिया गया है।

सही विकल्प को इस रूप में चिह्नित करें:

(A) दोनों कथन (A) और कारण (R) सही हैं और कारण (R) सही स्पष्टीकरण है दावा (A) का

(B) दोनों कथन (A)और कारण (R) सही हैं लेकिन कारण (R) सही नहीं है दावे की व्याख्या (A) का
(C) दावा (A) सच है लेकिन कारण (R) गलत है।
(D) दावा (A) गलत है लेकिन कारण (R) सच है।

उत्तर :

अभिकथन: शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं है।

कारण: एक गैर-शून्य स्थिर बहुपद की डिग्री 0 है

a) अभिकथन और कारण दोनों सही हैं और कारण अभिकथन की सही व्याख्या है

b) अभिकथन और कारण दोनों सही हैं लेकिन कारण अभिकथन की सही व्याख्या नहीं है

c) अभिकथन सही है लेकिन कारण गलत है

d) अभिकथन गलत है लेकिन कारण सही है

उत्तर : सही उत्तर विकल्प ‘B’ है। क्या आप इस उत्तर की व्याख्या कर सकते हैं?

अभिकथन : P(x) = $4x^{3}- x^{^2} + 5x^{4}+3x -2$ घात 3 का एक बहुपद है ।
कारण : बहुपद P(x) में x की उच्चतम घात बहुपद की घात है।

(A) दोनों कथन (A) और कारण (R) सही हैं और कारण (R) दावा (A) का सही स्पष्टीकरण है।
(B) दोनों कथन (A) और कारण (R) सत्य हैं लेकिन कारण (R) कथन (A) का सही स्पष्टीकरण नहीं है।
(C) दावा (A) सच है लेकिन कारण (R) गलत है।
(D) दावा (A) गलत है लेकिन कारण (R) सच है।

उत्तर: बहुपद P(x)= 4x³ – x² + 5 $x^{_{4}}$ + 3x – 2 में x की उच्चतम घात 4 है ।
अत: बहुपद P(x) की घात 4 है।
सही विकल्प है (D) दावा (A) गलत है लेकिन कारण (R) सच है।

2. अभिकथन : x³ + x का केवल एक वास्तविक शून्य है।
कारण : nवीं डिग्री वाले बहुपद में n वास्तविक शून्यक होने चाहिए।

(A) दोनों कथन (A) और कारण (R) सत्य हैं और कारण (R) दावा (A) का सही स्पष्टीकरण है।
(B) दोनों कथन (A) और कारण (R) सत्य हैं लेकिन कारण (R) कथन (A) का सही स्पष्टीकरण नहीं है।
(C) दावा (A) सच है लेकिन कारण (R) गलत है।
(D) दावा (A) गलत है लेकिन कारण (R) सच है।

उत्तर : कारण गलत है [nवीं डिग्री वाले बहुपद में अधिकतम n शून्य होते हैं।]
फिर से, x³ + x = x(x² + 1)
जिसका केवल एक वास्तविक शून्य है अर्थात x = 0

[x² + 1 ≠ 0 for all x ∈ R]
अभिकथन सत्य है।
सही विकल्प है (C) दावा (A) सच है लेकिन कारण (R) गलत है

3. अभिकथन: यदि बहु-नामांकित p(x) = (k² + 4)x² + 13x + 4k का एक शून्यक व्युत्क्रम है अन्य, फिर K=2
कारण: यदि (x – a) p(x) का एक गुणनखंड है, तो p(a) = 0 अर्थात a, p(x) का एक शून्य है।

उत्तर : मान लीजिए α, $\frac{1}{a}$ p(x) के शून्यक हैं तो = $\alpha \times \frac{1}{\alpha } = \frac{4k}{k^{2}+4}= 1$

⇒ k² – 4k + 4 = 0
⇒ (k – 2)² = 0 ⇒ k = 2

(B) दोनों कथन (A) और कारण (R) सत्य हैं लेकिन कारण (R) कथन (A का सही स्पष्टीकरण नहीं है।

4. अभिकथन : x² + 4x + 5 में दो शून्यक हैं।
कारण: एक द्विघात बहुपद में अधिकतम दो शून्य हो सकते हैं।

उत्तर : p(x) = 0 x² + 4x + 5 = 0
विभेदक, D = b² – 4ac
= 4² – 4 x 1 x 5
= 16 – 20 = – 4 <0
इसलिए, कोई वास्तविक शून्य नहीं हैं।
(D) दावा (A) गलत है लेकिन कारण (R) सच है।

5. अभिकथन: बहुपद f (x) के लिए ग्राफ y = f(x) चित्र में दिखाया गया है। जो f(x) के 3 शून्यक है।

कारण: बहुपद f(x) के शून्य की संख्या के बिंदु की संख्या है जो f(x) को काटता या छूता है।

उत्तर : चूँकि बहुपद f(x) के शून्यकों की संख्या पर बिंदुओं की संख्या होती है
जो f(x) दी गई आकृति में x-अक्ष को काटता है (प्रतिच्छेद करता है) और शून्य की संख्या 3 है।तो A सही है लेकिन R सही नहीं है।
सही विकल्प (C ) दावा (A ) सही है लेकिन कारण (R ) गलत है।

6. अभिकथन: शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं है।
कारण: एक गैर-शून्य स्थिर बहुपद की डिग्री 0 . है

(A) दोनों कथन (A) और कारण (R) सत्य हैं और कारण (R) दावा (A) का सही स्पष्टीकरण है।
(B) दोनों कथन (A) और कारण (R) सही हैं लेकिन कारण (R) दावे (A) की सही व्याख्या नहीं है
(C) दावा (A) सच है लेकिन कारण (R) गलत है।
(D) दावा (A) गलत है लेकिन कारण (R) सच है।

उत्तर : हम जानते हैं कि अचर बहुपद 0 को शून्य बहुपद कहते हैं।शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं है। अत: अभिकथन सत्य है।अब, एक शून्येतर अचर बहुपद की घात शून्य होती है।तो, कारण सच है।
चूँकि अभिकथन और कारण दोनों सत्य हैं और कारण अभिकथन की सही व्याख्या नहीं है।सही विकल्प है (B)

7. अभिकथन : x² + 7x + 12 का कोई वास्तविक शून्यक नहीं है।
कारण: एक द्विघात बहुपद में अधिकतम दो शून्य हो सकते हैं।

उत्तर : x² + 7x + 12 = 0
⇒ x² + 4x + 3x + 12 = 0
⇒ x(x + 4) + 3(x + 4) = 0
⇒ (x + 4) (x + 3) = 0
⇒ (x + 4) = 0 or (x + 3) = 0
⇒ x = −4 or x = −3

इसलिए, x² + 7x + 12 के दो वास्तविक शून्यक हैं।सुधार विकल्प है (D) दावा (A) गलत है लेकिन कारण (R) सच है।

8. अभिकथन: यदि द्विघात बहुपद x² – 2kx + 8 के शून्यकों का योग 2 है तो k का मान 1 है।
कारण: द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यकों का योग –b/a है

उत्तर: संबंध सत्य है क्योंकि हम जानते हैं कि शून्य का योग = $\frac{-b}{a}$
$= -\frac{-2k}{1}= 2 = k = 1$

अत: अभिकथन सत्य है। सही विकल्प है (A) कथन (A) और कारण (R) दोनों सत्य हैं और कारण (R) कथन (A) की सही व्याख्या है।

9. अभिकथन: यदि द्विघात बहुपद x² + 3x + 5k के शून्यकों का गुणनफल -10 है तो k का मान -2 है।
कारण: द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यकों का योग –b/a है

(A) दोनों कथन (ए) और कारण (आर) सत्य हैं और कारण (आर) दावा (ए) का सही स्पष्टीकरण है।
(B) दोनों कथन (ए) और कारण (आर) सत्य हैं लेकिन कारण (आर) कथन (ए) का सही स्पष्टीकरण नहीं है।
(C) दावा (ए) सच है लेकिन कारण (आर) गलत है।
(D) दावा (ए) गलत है लेकिन कारण (आर) सच है।

उत्तर : कारण सत्य है क्योंकि हम जानते हैं कि शून्यों का योग = $\frac{-b}{a}$ , साथ ही हम यह भी जानते हैं कि शून्यों का गुणनफल = $\frac{c}{a}$

= $\frac{5k}{1}=-10=k = -2$

अत: अभिकथन सत्य है। लेकिन कारण अभिकथन की सही व्याख्या नहीं है। सही विकल्प है (B)

10. अभिकथन : 3 – $2\sqrt{5}$ द्विघात बहुपद का एक शून्य है तो अन्य शून्य 3 + $2\sqrt{5}$ होगा।
कारण: अपरिमेय शून्य (मूल) हमेशा जोड़े में होते हैं।

उत्तर: चूंकि अपरिमेय मूल/शून्य हमेशा जोड़े में होते हैं, इसलिए जब एक शून्य होता है 3 – तो दूसरा 3 + होगा।
अत: A और R दोनों सही हैं और R, A की व्याख्या करता है।
सही विकल्प है (a) कथन (A) और कारण (R) दोनों सत्य हैं और कारण (R) कथन (A) की सही व्याख्या है।

11. अभिकथन: एक द्विघात बहुपद, जिसके शून्यकों का योग 8 है और उनका गुणनफल 12 है, x² – 20x + 96 है।
कारण: यदि और बहुपद f(x) के शून्यक हों, तो बहुपद f(x) = x² $-\left ( \alpha +\beta \right )x+ \alpha \beta$ द्वारा दिया जाता है।

उत्तर: कारण सही है। यदि और अभीष्ट बहुपद f(x) के शून्यक हों,
तब ( $\alpha$ + $\beta$ ) = 8 और $\alpha$ $\beta$ = 12
∴ f(x) = x² -( $\alpha$ + $\beta$ )x +
⇒ f(x) = x² – 8x + 12
अतः अभिकथन सही नहीं है
सही विकल्प है (डी)

1. x का वह मान, जिसके लिए बहुपद x 2 – 1 और
x2 – 2x +1 एक साथ गायब हो जाता है, is

(A) 1

(B) -2

(D) 1

2. यदि और शून्य हैं और द्विघात बहुपद
f(x) = x2 – x – 4 , तो $\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }-\alpha \beta$ का मान है

(A) $\frac{15}{4}$

(B) – $\frac{15}{4}$

(D 15

3. बहुपद x⁸– x⁵+ x² – x+1 का मान है

(A) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सकारात्मक
(B) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए नकारात्मक
(C) 0
(D) x . के मूल्य पर निर्भर करता है

4. x³ – 3x² + x + 2 को एक बहुपद g(x) से विभाजित करने पर,भागफल और शेषफल x – 2 और – 2 x + 4 . थे| क्रमशः, तो g(x) के बराबर है

(a) x²+x + 1

(b) x²+1

(d) x²– 1

5. यदि x = 0.7 तो 2x है

(a) 1. $\bar{4}$

(b) 1. $\bar{5}$

(d) 1.

6. दो संख्याओं के बीच का अंतर 642 है। जबबड़े को छोटे से विभाजित किया जाता है, भागफल 8 . होता हैऔर शेषफल 19 है, तो के घन का योग ज्ञात कीजिए |

(a) 391322860

(b) 319322860

(d) 391223860

7. x² + 4x + 2 का न्यूनतम मान है

(a) 0

(b) 2

(d) 4

8. यदि a³ – 3 a² b + 3ab² – b³को ( a -b) से विभाजित किया जाता है, तो शेष है

(a) a² – ab + b²

(b) a²+ ab + b²

(d) 0

9. एक द्विघात बहुपद जब x+2 से विभाजित होता है1 का शेषफल और जब x-1 से विभाजित किया जाता है, तो a . निकलता हैशेषफल 4. यदि यह है तो शेषफल क्या होगा?(x+2)(x-1) से विभाजित?

(a) 1

(b) 4

(d) x -3

10. यदि अर्धवृत्त के आकार में एक द्विघात बहुपद वक्र नीचे दिखाया गया है।फिर, इस वक्र का समीकरण।

(a) -x²+ 2

(b) x²+ 2

(d) – $\frac{1}{2}$ x ²

11. यदि बहुपद के शून्यकों का योग होf(x) = 2x² – 3kx² + 4x – 5 6 है, तो k का मान है

(a) 2

(b) -2

12. यदि एक घन बहुपद, जिसके शून्यकों का योग हो, योगउत्पादों और उसके शून्यों का एक बार में दो बार लिया औरइसके शून्यकों का गुणनफल क्रमशः 2, -5 और -11 है,तो घन बहुपद है

(a) x³+ 7x – 6

(b) x³+ 7x + 6

(d) x³– 7x + 6

13. यदि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात बहुपद के शून्यक हैंf(x) = ax² + bx + c , तो a⁴ + $\beta$ ⁴का मान है

(a) $\frac{(b^{2}-2ac)^{2}+a^{2}c^{2}}{a^{4}}$ (b) $\frac{(b^{2}+2ac)^{2}-a^{2}c^{2}}{a^{4}}$

14.बहुपद f (x) ax3 + bx – c से विभाज्य है बहुपद g (x) = x2 +bx+ c , c ≠ 0, if

(a) ab = 2

(b) ab = 1

(d) c b

15. यदि x²+ax+b के रूप वाले द्विघात बहुपद का एक शून्यक दूसरे का ऋणात्मक हो, तो निम्न में से कौन सा सही है?

(A) बहुपद के रैखिक कारक हैं
(B) बहुपद की निरंतर अवधि नकारात्मक है
(C) दोनों (ए) और (बी) सही हैं
(D) न तो (ए) और न ही (बी) सही है

16. यदि, $\alpha$ $\beta$ ,और $\gamma$ बहुपद के शून्यक हैं p(x)= ax³ +3bx² + 3cx +d और जिसका संबंध है 2 $\beta$ =a + $\gamma$ , तो 2b³ – 3abc + a² d है

(a) -1

(d) इनमे से कोई भी नहीं

17. यदि द्विघात के शून्यकों के अंतर का वर्ग बहुपद x² + px + 45 144 के बराबर है, तो P का मान होगा

(a) ±9

(b)±12

(c)±15

(d) ±18

18. यदि $\alpha$ और $\beta$ शून्य हैं और द्विघात बहुपद p(S)=3S²+6S+4, तो $\frac{\alpha }{\beta }$ + $\frac{\beta }{\alpha }$ + $2\left ( \frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta } \right )$ +3α β का मान होगा

(a) 7

(b) 6

(d) 10

19. द्विघात बहुपद y2 – 3y + 2 . के शून्यक ज्ञात कीजिए ग्राफ की मदद से।

(a) 1,- 2

(b) $\frac{-1}{4},\frac{3}{2}$

(d) 1 , 2

20. यदि समीकरण के शून्यकों का योग शून्य है, $\frac{1}{x+a}+\frac{1}{x+b}=\frac{1}{c}$ तो शून्य का गुणनफल समीकरण का है?

(a) $\frac{a^{2}+b^{2}}{2}$

(b) $-\left ( \frac{a^{2}+b^{2}}{2} \right )$

(d) $\left ( \frac{a+b^{}}{2} \right )^{2}$

1. वह द्विघात बहुपद जिसका शून्यकों का योग 3 है और शून्यकों का गुणनफल -2 है, है :
(A) x² + 3x – 2
(B) x²– 2x + 3
(C) x²– 3x + 2
(D) x² – 3x – 2

2.  यदि (x + 1), 2x³ + ax² + 2bx + 1 का गुणनखंड है, तो a और b के मान ज्ञात कीजिए कि 2a – 3b = 4
(A)   A = -1, B = -2
(B)   A = 2, B = 5
(C)   A = 5, B = 2
(D)   A = 2, B = 0

3. बहुपद f(x) = (x – 2)²+ 4 के शून्यकों की संख्या हो सकती है:

(A) 1

(B) 2

(D) 3

4. बहुपद f(x) = 4x² -12x + 9 के शून्यक हैं |

(A)

(B)

(D) –3, –4

5. यदि p(x) कम से कम एक घात वाला बहुपद है और p(k) = 0 है, तो k कहलाता है

(A) p(x) का मान
(B) शून्य p(x)
(C) p(x) की निरंतर अवधि
(D) इनमें से कोई नहीं

6. यदि p(x) = ax + b, तो p(x) का शून्य|

(A) a

(B) b

(C)

(D)

7. एक द्विघात बहुपद का आलेख है

(A) (एक सीधी पंक्ति)
(B)   सर्कल
(C)   परवलय
(D)   दीर्घवृत्त

8. एक बहुपद के शून्यकों को आलेखीय रूप से निर्धारित किया जा सकता है। एक बहुपद के शून्यकों की संख्या संख्या के बराबर होती है। उन बिंदुओं का जहां बहुपद का ग्राफ

(A)   y-अक्ष को काटता है
(B)   एक्स-अक्ष को काटता है
(C)   y-अक्ष को काटता है या x-अक्ष को काटता है
(D)   इनमें से कोई नहीं

9. यदि एक बहुपद का आलेख x-अक्ष को नहीं काटता है लेकिन y-अक्ष को एक बिंदु पर काटता है, तो बहुपद के शून्यकों की संख्या बराबर होती है

(A)   0
(B)   1
(C)   0 या 1
(D)   इनमें से कोई नहीं

10. डिग्री n के एक बहुपद में है

(A)   केवल 1 शून्य
(B)   बिल्कुल n शून्य
(C)   अधिकतम n शून्य
(D)   1 शून्य से अधिक

11. यदि p(x) = ax² + bx + c, तो बराबर है

(A) 0
(B) 1

12. यदि p(x) = ax²+ bx + c, और a + b + c = 0, तो एक शून्य

(A)

(B)

(C)

(D) इनमें से कोई नहीं

13.एक द्विघात बहुपद जिसका एक शून्य 6 है और शून्यकों का योग 0 है, है

(A) x² – 6x + 2

(B) x² – 36

(D) x² – 3

बहुपद

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केस स्टडी 3:

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अभिकथन तर्क प्रश्न

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