अभ्यास 12.2

अभ्यास 12.2

चतुर्भुज ABCD के आकार का एक पार्क में ∠C = 90º, AB = 9 m, BC = 12 m, CD = 5 m और

AD = 8 m है। इस पार्क का कितना क्षेत्रफल है ?

हल :-

AB = 9 m, BC = 12 m, CD = 5 m and AD = 8 m. ∠C = 90°

Δ DCB में , ∠C = 90º

BD² = DC² + BC² पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करते हुए

BD² = 5² + 12²

BD² = 25 + 144

BD² = 169

BD = $\sqrt{169}$

BD = 13 m

Δ BCD का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2 }$ × आधार × ऊंचाई = $\frac{1}{2 }$ x b x h

= $\frac{1}{2}$ × 12 × 5

= 30 m²

Δ ADB में

a = 9 m b = 8 m c = 13 m

S = $\frac{a+b+c}{2}$

$S = \frac{9+8+13}{2}$

S = $\frac{30}{2}$

S = 15m

त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल = $\sqrt{S\left ( S-a \right )\left ( S-b \right )\left ( S-c \right )}$ (हीरोन के सूत्र का प्रयोग करते हुए)

$=\sqrt{15\left ( 15-9 \right )\left ( 15-8 \right )\left ( 15-13 \right )}$

$= \sqrt{15\times 6\times 7\times 2}$

$= \sqrt{3\times 5\times 3\times 2\times 7\times 2}$ $= 3\times 2\sqrt{35}$

इस प्रकार, त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल $= 6\sqrt{35}m^{2}$

चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = Δ BCD का क्षेत्रफल  + Δ ABD का क्षेत्रफल

= 30 + $6\sqrt{35}$

= 30 + 6 × 5.91

= 30 + 35.46

चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = 65.46m² {लगभग}

अभ्यास 12.2 कक्षा 9 गणित प्रश्न 2.

एक चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें AB = 3cm, BC = 4cm,
 CD = 4cm, DA = 5cm और AC = 5cm है।

हल :-

AB = 3 cm, BC = 4 cm, CD = 4 cm , DA = 5 cm and AC = 5 cm.

Δ ADC में

a = 5 cm b = 5 cm c = 4 cm

S = $\frac{a+b+c}{2}$ { त्रिभुज का अर्ध-परिमाप }

$S = \frac{5+5+4}{2}$

S = $\frac{14}{2}$

S = 7 cm

त्रिभुज ADC का क्षेत्रफल = $\sqrt{S\left ( S-a \right )\left ( S-b \right )\left ( S-c \right )}$ (हीरोन के सूत्र का प्रयोग करते हुए)

$=\sqrt{7\left ( 7-5\right )\left ( 7-5 \right )\left ( 7-4 \right )}$

$= \sqrt{7\times 2\times 2\times 3}$

$= 2\sqrt{21}cm^{2}$

ΔABC में

a = 3 cm b = 4 cm c = 5 cm

S = $\frac{a+b+c}{2}$ (त्रिभुज का अर्ध-परिमाप)

$S = \frac{3+4+5}{2}$

S = $\frac{12}{2}$

S = 6 cm

Δ ABC का क्षेत्रफल = $\sqrt{S\left ( S-a \right )\left ( S-b \right )\left ( S-c \right )}$ (हीरोन के सूत्र का प्रयोग करते हुए)

$=\sqrt{6\left ( 6-3 \right )\left ( 6-4 \right )\left ( 6-5\right )}$

$= \sqrt{6\times 3\times 2\times 1}$

$= {\sqrt{6\times 6}$

= 6 cm²

चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = Δ ADC का क्षेत्रफल + Δ ABC का क्षेत्रफल

$= 2\sqrt{21} + 6$

= 2×4.58 + 6

= 9.16 + 6

= 15.16 cm² OR 15.2 cm²

इस प्रकार , चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = 15.16 cm² OR 15.2 cm²

Ex 12.2 कक्षा 9 गणित प्रश्न 3.

राधा ने रंगीन कागज से एक हवाई जहाज का चित्र बनाया जैसा कि 
 में दिखाया गया है। प्रयोग किए गए कागज का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये ।


हल :-
पहले भाग का क्षेत्रफल :-

a= 5 cm b = 5 cm c = 1 cm

S = $\frac{a+b+c}{2}$ (त्रिभुज का अर्ध-परिमाप)

$S = \frac{5+5+1}{2}$

S = $\frac{11}{2}$ cm

पहले भाग का क्षेत्रफल = $\sqrt{S\left ( S-a \right )\left ( S-b \right )\left ( S-c \right )}$ (हीरोन के सूत्र का प्रयोग करते हुए)

$=\sqrt{\frac{11}{2}\left ( \frac{11}{2}-5\right )\left ( \frac{11}{2}-5 \right )\left ( \frac{11}{2}-1\right )}$

$= \sqrt{\frac{11}{2}\left ( \frac{11-10}{2} \right )\left ( \frac{11-10}{2} \right )\left ( \frac{11-2}{2} \right )}$

$= \sqrt{\frac{11}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{9}{2}}$

$= \sqrt{\frac{11}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{3}{2}\times 3}$

$= \sqrt{11\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times 3\times 3}$

$= \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times 3\sqrt{11}$

$= \frac{3}{4}\sqrt{11} cm^{2}$ = 0.75 x 3.3 = 2.475 cm² or 2.5 (लगभग )

दुसरे भाग का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

= 6.5 × 1 = 6.5 सेमी ²

तीसरे भाग का क्षेत्रफल:-

BDC का क्षेत्रफल = $\frac{\sqrt{3}}{4}\left ( 1 \right ) = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ( समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$ )

$\frac{1}{2}\times 1\times h = \frac{\sqrt{3}}{4}$

$h = \frac{\sqrt{3}}{2}$

तीसरे भाग का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}\left [ 2 + 1 \right ]\times \frac{\sqrt{3}}{2}$ ( समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 (समांतर भुजाओ जोड़ ) x ऊंचाई )

$= \frac{1}{2}\times 3\times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$= \frac{3}{4}\sqrt{3 } cm^{2}$ = 0.75 x 1.73 = 1.2975 सेमी ² or 1.30 सेमी²

चौथे भाग का क्षेत्रफल= $\frac{1}{2}$ × आधार × लम्ब

= $\frac{1}{2}\times 1.5 \times 6$

= 4.5 सेमी²

पांचवे भाग का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}$ × आधार × लम्ब

= $\frac{1}{2}\times 1.5 \times 6$

= 4.5 सेमी ²

राधा द्वारा प्रयोग किए गए कागज का कुल क्षेत्रफल = 2.5 + 6.5 + 1.3 + 4.5 + 4.5 = 19.3 सेमी²

अभ्यास 12.212.2 कक्षा 9 गणित प्रश्न 4.

एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज का आधार और क्षेत्रफल समान है। यदि त्रिभुज की भुजाएँ 
26 सेमी, 28 सेमी और 30 सेमी हैं, और समांतर चतुर्भुज आधार 28 सेमी पर खड़ा है, 
तो समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:-

त्रिभुज में

a = 26 cm b = 30 cm c = 28 cm

S = $\frac{a+b+c}{2}$ (त्रिभुज का अर्ध-परिमाप)

$S = \frac{26+30+28}{2}$

S = $\frac{84}{2}$

S = 42 cm

त्रिभुज का क्षेत्रफल= $\sqrt{S\left ( S-a \right )\left ( S-b \right )\left ( S-c \right )}$ (हीरोन के सूत्र का प्रयोग करते हुए)

$=\sqrt{42\left ( 42-26 \right )\left ( 42-30\right )\left ( 42-28\right )}$

$= \sqrt{42\times 16\times 12\times 14}$

$= \sqrt{14\times 3\times 4\times 4\times 3\times 2\times 2\times 14}$

= 14 × 4 × 3 × 2

समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = त्रिभुज का क्षेत्रफल (दिया है )

आधार × ऊंचाई = 14 × 4 × 3 × 2

28 ×ऊंचाई = 14 × 4 × 3 × 2

ऊंचाई = $\frac{14 \times 4 \times 3 \times 2}{28}$

ऊंचाई = 12 cm

समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई = 12 cm

अभ्यास 12.2 कक्षा 9 गणित प्रश्न 5.

एक समचतुर्भुजाकार घास के खेत में 18 गायों के चरने के लिए हरी घास है। 
यदि समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा 30m है,और बड़ा विकर्ण 48m है,
तो प्रत्येक गाय को घास के मैदान का कितना क्षेत्रफल प्राप्त होगा ?

हल :-

Δ ACD में

a = 30 m b = 30 m c = 48 m

S = $\frac{a+b+c}{2}$ (त्रिभुज का अर्ध-परिमाप)

$S = \frac{30+30+48}{2}$

S = $\frac{108}{2}$

S = 54 m

Δ ACD का क्षेत्रफल = $\sqrt{S\left ( S-a \right )\left ( S-b \right )\left ( S-c \right )}$ (हीरोन के सूत्र का प्रयोग करते हुए)

$=\sqrt{54\left ( 54-30 \right )\left ( 54-30\right )\left ( 54-48\right )}$

$= \sqrt{54\times 24\times 24\times 6}$

$= \sqrt{3\times 3\times 6\times 24\times 24\times 6}$

= 3 × 24 × 6 m²

समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = Δ ACD का क्षेत्रफल x  2 
कुल गाय = 18

प्रत्येक गाय द्वारा चरा गया क्षेत्रफल =   Δ ACD का क्षेत्रफल x 2  =  = 48 m²
                                     कुल गाय

प्रत्येक गाय द्वारा चरा गया क्षेत्रफल = 48 m²

अभ्यास 12.2 कक्षा 9 गणित प्रश्न 6.

दो विभिन्न रंगों के कपड़े के 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों को सी कर एक छाता बनाया गया है 
प्रत्येक टुकड़े का माप 20  cm, 50 cm और 50 cm है। छाते में प्रत्येक रंग का  कितना  
कपड़ा लगा है ?

हल:-

Δ ABC में

a = 20 cm b = 50 cm c = 50 cm

S = $\frac{a+b+c}{2}$ (त्रिभुज का अर्ध-परिमाप)

$S = \frac{20+50+50}{2}$

S = $\frac{120}{2}$

S = 60 cm

The area of the triangle ABC = $\sqrt{S\left ( S-a \right )\left ( S-b \right )\left ( S-c \right )}$ (हीरोन के सूत्र का प्रयोग करते हुए)

$=\sqrt{60\left (60-20 \right )\left ( 60-50\right )\left ( 60-50\right )}$

$= \sqrt{60\times 40\times 10\times 10}$

$= \sqrt{10\times 6\times 4\times 10\times 10\times 10}$

$= \sqrt{10\times 10\times 10\times 10\times 3\times 2\times 2\times 2}$

$= 10 \times 10 \times 2\sqrt{6}$

Area of each colours cloth :- $\frac{10\times 200\sqrt{6}}{2}$ cm²

$= 1000\sqrt{6}$ cm²

पहले रंग क्षेत्रफल  = दूसरे  रंग क्षेत्रफल    cm²

अभ्यास 12.2 कक्षा 9 गणित प्रश्न 7.

एक पतंग तीन भिन्न भिन्न शेडो के कागजों से बनी है, इन्हे  में दिखाया गया है
 जिसका विकर्ण 32cm हैऔर एक समद्विबाहु त्रिभुज जिसका आधार 8cm है और 
प्रत्येक की भुजा 6cm है, ज्ञात कीजिये की प्रत्येक शेड का कितना कागज प्रयुक्त किया गया है?

हल:-

Δ ABD में ∠ A = 90°

a² + a² = 32²

2a² = 32 × 32

a² = 16 × 32

पहले भाग का क्षेत्रफल = $\frac{a^{2}}{2}$ = Area of square

= $\frac{16 \times 32}{2}$

पहले भाग का क्षेत्रफल = 256 cm²

दूसरे भाग का क्षेत्रफल = 256 cm²

तीसरे भाग का क्षेत्रफल :-

a = 6 cm b = 6 cm c = 8 cm

S = $\frac{a+b+c}{2}$ (त्रिभुज का अर्ध-परिमाप)

$S = \frac{6+6+8}{2}$

S = $\frac{20}{2}$

S = 10 cm

तीसरे भाग का क्षेत्रफल = $\sqrt{S\left ( S-a \right )\left ( S-b \right )\left ( S-c \right )}$ (हीरोन के सूत्र का प्रयोग करते हुए)

$=\sqrt{10\left (10-6 \right )\left ( 10-6\right )\left ( 10-8\right )}$

$= \sqrt{10\times 4\times 4\times 2}$

$= \sqrt{2\times 5\times 4\times 4\times 2}$

$= 2\times 4\sqrt{5}$

$= 8\sqrt{5}$

= 8 × 2.24

तीसरे भाग का क्षेत्रफल = 17.92 cm²

अभ्यास 12.2 कक्षा 9 गणित प्रश्न 8.

फर्श पर एक फूलों का डिजाइन 16 त्रिभुजाकार टाइलों से बनाया गया है,जिनमे से प्रत्येक भुजाएं 
9 सेमी, 28 सेमी और 35 सेमी है (देखिए आकृति 12.18)। इन टाइलों को 50 पैसे प्रति cm² 
दर से पॉलिश करने का व्यय ज्ञात कीजिये।

हल:-

a = 35 cm b =96 cm c = 28 cm

S = $\frac{a+b+c}{2}$ (त्रिभुज का अर्ध-परिमाप)

$S = \frac{35+9+28}{2}$

S = $\frac{72}{2}$

S = 36 cm

एक टाइल का क्षेत्रफल = $\sqrt{S\left ( S-a \right )\left ( S-b \right )\left ( S-c \right )}$ (हीरोन के सूत्र का प्रयोग करते हुए)

$=\sqrt{36\left (36-35 \right )\left ( 36-9\right )\left ( 36-28\right )}$

$= \sqrt{36\times 1\times 27\times 8}$

$= \sqrt{6\times 6\times 3\times 3\times 3\times 2\times 2\times 2}$

$= 6\times 3\times 2\times\sqrt{6}$

$= 36\sqrt{6} cm^{2}$

= 36 × 2.45 cm²

16 टाइलों का क्षेत्रफल = 36 × 2.45 ×16

टाइलों को पॉलिश करने का व्यय :-

= 36 × 2.45 × 16 × $\frac{50}{100}$

= 36 × 2.45 × 8 = ₹ 705

इस प्रकार, टाइलों को पॉलिश करने का व्यय = ₹ 705

अभ्यास 12.2 कक्षा 9 गणित प्रश्न 9.

एक खेत समलंब के आकार का है जिसकी समानांतर भुजाएँ 25 मीटर और 10 मीटर हैं। असमानांतर भुजाएँ
14 मीटर और 13 मीटर हैं। इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :-

a = 14 m b =13 m c = 15 m

S = $\frac{a+b+c}{2}$ (त्रिभुज का अर्ध-परिमाप )

$S = \frac{14+13+15}{2}$

S = $\frac{42}{2}$

S = 21 m

खेत का क्षेत्रफल =          (हीरोन के सूत्र का प्रयोग करते हुए)

$=\sqrt{21\left (21-14 \right )\left ( 21-13\right )\left ( 21-15\right )}$

$= \sqrt{21\times 8\times 7\times 6}$

$= \sqrt{7\times 3\times 2\times 2\times 2\times 7\times 3\times 2}$

= 7 × 3 × 2 × 2

त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2 }$ × आधार × ऊंचाई = $\frac{1}{2 }$ x b x h

$7\times 3\times 2\times 2 = \frac{1}{2}\times base \times height$

$7\times 3 \times 2\times 2 = \frac{1}{2}\times 15\times h$

$h = \frac{7\times 2\times 2\times 2}{5}$

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल + Δ BCE का क्षेत्रफल
                               या 
समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 (समांतर भुजाओ  जोड़ ) x  ऊंचाई  
समलंब का क्षेत्रफल =  × h

= $\frac{1}{2}\left [ 25 + 10 \right ]\times \frac{7\times 2\times 2\times 2}{5}$

$= \frac{35\times 7\times 2\times 2}{5} = 196$

खेत का क्षेत्रफल = 196 m²

अभ्यास 12.2 कक्षा 9 गणित प्रश्न 7.

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